QUE ES UNA FUNCIÓN?

¿Qué es una función?
Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.
Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.
Ejemplos
"Multiplicar por 2" es una función muy simple

Nombres
Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g" ... o hasta "mermelada" si quieres.
Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:
Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro
Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:
f(x) = 3x nos dice que la función "f" toma "x" y lo multiplica por 3.
Así que con la función "f(x) = 3x", una entrada de 4 da una salida de 12. De hecho podemos escribir f(4) = 12.

Relacionar
Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!
En realidad, una función relaciona la entrada con la salida.
Decir que "f(4) = 12" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 12. O también 4 → 12
Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a:
a(edad) = edad × 20
Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm
Volveremos a esta idea después de responder la pregunta...
¿Con qué tipo de cosas trabaja una función?
Los "números" parecen una respuesta clara, pero...
... ¿qué números? Por ejemplo, la función de la altura del árbol a(edad) = edad×20 no tiene sentido si la edad es menor que cero.
... también podrían ser letras ("A"→"B"), o códigos de identificación ("A6309"→"Acceso") o cosas más raras.

DIVERTITE PENSANDO!

Como siempre, su profe pensando en uds, les deja aquí unos problemitas de pensar, con un poco de ingenio y creatividad salen, claro tambien con algo de matemáticas!

Las palomas y las estacas

Llegaron las palomas y se posaron en estacas. Si en cada estaca se posa una paloma, hay una paloma que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan dos palomas, en una de las estacas no habrá paloma. ¿Cuántas eran las palomas? y, ¿cuántas las estacas?

Las hermanas y los hermanos

Yo tengo tantas hermanas como hermanos. Pero mi hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos somos?

¿Cuántos años tienen?

-Dígame, usted, abuelo, ¿qué edad tiene su hijo?
-Tiene tantas semanas como mi nieto días,
-¿Y qué edad tiene su nieto?
-Tiene tantos meses como yo años.
-Entonces, ¿qué edad tiene usted?
-Los tres juntos tenemos exactamente 100 años. Ingéniate y sabrás qué edad tenemos cada uno.

¿Cuántas partidas?
Tres amigos jugaron a las damas. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno?

El caracol

Un caracol decidió subir a un árbol de 15 m de altura. Durante cada día tenía tiempo de subir 5 m; pero mientras dormía por la noche, bajaba 4 m.

¿Al cabo de cuántos días llegará a la cima del árbol?

Dos escolares

-Dame una manzana y tendré el doble que tú -le dijo un escolar a otro.
-Eso sería injusto. Es preferible que tú me des a mí una manzana, y entonces tendremos las mismas -le respondió su camarada.
¿Podrías decir cuántas manzanas tenía cada escolar?

Juegos matemáticos

1. Mira durante 40 segundos fijamente los cuatro puntos que están formando una línea vertical en el centro del dibujo.

2. Luego mira hacia otro lado y parpadea seguido sin parar.

¿Qué es lo que ves?

Mi cerebro es una máquina

Aqui les dejo un link a un juego que se relaciona con las ecuaciones de una forma divertida y en la que tienen que pensar rápido:

BRAIN MACHINE

Si ves que algo gira: ¡Necesitas vacaciones!

Mira detenidamente cada círculo separadamente y verás que ellos están ¡quietos!

Aqui les dejo un juego de mucho ingenio que se jugaba antes, cuando no había computadora, pueden hacerlo con una cajita de fósforos si tienen a mano, el link es:

MATCH PUZZLES

ECUACIONES

Bueno, comenzamos con un tema nuevo. aqui les dejo lo mas importante que estuvimos viendo en clase y espero que sigan haciendose seguidores y comenten lo que les parezca. Recuerden que este sitio esta hecho por y para uds. así que cualquier aporte que deseen hacer es bienvenido.

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

En estos ejemplos puede observarse lo siguiente:

Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.

En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.

Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x ¹ = x ), al número 2 (x ²), al número 3 (x ³), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. Durante nuestro curso, nosotros trabajaremos con ecuaciones de primer grado únicamente.

¿Cuándo está resuelta una ecuación?

Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.

Les dejo como tarea pensar cuales pueden ser los valores de las tres primeas igualdades, lo pueden publicar como comentario, saludos a todos

La ecuación como BALANZA

Resolución de ecuaciones

Bueno, aqui les dejo la explicacion laarga sobre resolución de ecuaciones que nosotros vamos a utilizar luego en forma reducida, tal como lo empezamos a ver en estos dias. por favor léanla con detenimiento y sigan cada uno de los ejemplos, así evacúan dudas que puedan haber quedado.

Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados. Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir (Ver: Propiedades).

Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

· Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b

· Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a · x = b

1) Ecuaciones aditivas: a + x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:

Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.




Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:

1. Se suma a ambos lados de la ecuación el opuesto del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el opuesto de un número es el mismo número con signo contrario (el opuesto de 6 es –6; el opuesto de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).

2. Se realiza la operación indicada.

Ejemplo: 28 + x = 13

El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su opuesto que es –28.

28 + x + –28 = 13 + –28

Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.

28 + –28 = 0

Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).

13 + –28 = –15

Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:

28 + x = 13

28 + x +–28= 13 + –28

x + 0 = –15

x = –15

Otros ejemplos:

1) 60 – 37 = 84 + x

23 = 84 + x

23 + –84 = 84 + x + –84

–61 = 0 + x

x = –61

2) x + 3 – 2 = 7

x + 1 = 7

x + 1 + –1 = 7 + -1

x + 0 = 6

x = 6

2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice textualmente:

Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.




Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

Los pasos son los siguientes:

1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”.

Ejemplo: 15 • x = 75
tengo que divivdir a ambos miembros entre 15, entonces resulta 15 • x : 15 = 75 : 15

2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.

Reordenado los números se tiene: 15 : 15 • x = 75 : 15

1 • x = 5

x = 5

Otro ejemplo:

3 • x = 81

3 • x : 3 = 81 : 3

3 : 3 • x = 27

1 • x = 27

x = 27

¿Qué sucede si se combinan ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa ?

Ejemplo: 2x + 2 + 3 = 4x – 1

Para resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las operaciones entre términos semejantes en ambos miembros de la ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha.

En este ejercicio esto significa sumar los números con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso particular de nuestro ejemplo, a la izquierda se pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no hay más términos semejantes

2x + 5 = 4x – 1

A continuación se debe sumar a ambos lados de la ecuación el opuesto del número que suma o resta a la incógnita, en este caso se debe sumar el opuesto de 5 (-5) a la izquierda y a la derecha de la igualdad.

2x + 5 + –5 = 4x - 1 + –5

2x + 0 = 4x + –6

2x = 4x + –6

Luego, debe sumarse el opuesto de 4x para lograr que el número 4x que está a la derecha quede a la izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con “equis” podrán reducirse.

2x = 4x + –6 / –4x

2x + –4x = 4x + –6 + –4x

– 2x = 4x + –4x + –6

– 2x = 0 + –6

– 2x = –6

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en este caso se debe dividir por –2. Fíjate que la ecuación es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide por –2).

– 2x : –2 = –6 : –2

1x = 3

x = 3

Otro ejemplo:

5x – 3 = 2x + 6

1) Se suman o restan números con números y letras con letras en cada miembro de la ecuación. Como no hay términos semejantes en este caso, se continúa con el segundo paso.

5x – 3 + +3 = 2x + 6 + +3 / +3

5x + 0 = 2x + 9

2) Sumar el opuesto (sumar a ambos lados de la ecuación el número que resta o suma a la “x”)

5x = 2x + 9

Ahora falta sumar el opuesto de 2x (-2x)

5x + –2x = 2x + –2x + 9 /–2x

3x = 0 + 9

3x = 9

3) Dividir a ambos lados de la ecuación por el número que acompaña a la incógnita (3). Inverso multiplicativo.

3x ÷ 3 = 9 ÷ 3

3 ÷ 3x = 9 / 3 (Recuerda que el símbolo de división, ÷, también se puede representar como /).

x = 3

Nota: Todas las ecuaciones vistas hasta ahora son de Primer Grado (el exponente de la incógnita es 1) y pertenecen al Conjunto de los Números Enteros (los coeficientes numéricos son números positivos y negativos). Más adelante se estudiará la forma de resolver ecuaciones en el Conjunto de los Números Racionales.

repasamos lo visto en clase

Estas últimas clases hemos dado por finalizada la revisión de 1er año para dar paso a los conceptos nuevos que nos tocan empezar a aprender.

Fuimos construyendo los conjuntos de números, desde los conocidos: Naturales, Enteros, hasta los Racionales y los Irracionales.

También nos familiarizamos con sus distintas expresiones, por ejemplo, sabemos que un racional es la expresion de una razón o cociente (o division, son todos sinónimos=) entre dos números enteros.

De esta division que escribimos como Numerador/Denominador podemos obtener dos posibles resultados: un Decimal Exacto ó un Decimal Periódico. Si pienso en sentido inverso cualquier número con esta forma se puede escribir como el cociente de dos enteros.( a este razonamiento se le llama recíproco)

Ejemplo

Cómo obtenemos la fracción correspondiente a un número decimal?

Los números 3,27 y 0,4235 se pueden escribir: 3,27= 327/100 y 0,4235=4235/10000

sucede que dividir entre 10, 100, 1000 o cualquier potencia de 10 implico, en los hechos, correr la coma hacia la izquierda uno, dos tres, o tantos lugares como ceros tenga el número.

completa el siguiente cuadro:

Numero Decimal	Fraccion
0,3
5,42
-0,312
0,83
-3,7
2,138